図のような，電池１個，電球１個，スイッチ７個を含む電気回路があります。スイッチのオン・オフの仕方は全部で128通りあり，そのうち電球が点灯するようなスイッチのオン・オフの仕方は全部で\(\boxed{\phantom{hoge}}\)通りあります。
電気が流れない場合の方がイメージしやすかったので全体から引く方針で求めました。
✤下２つが閉じているとき
残り５つのスイッチはどうなっていていも良いので\(2^{5}=32\)通り。
✤下２つが開いているとき
中段の右端と左端に電気が流れなければ電球はつきません。下図のように２パターンが考えられます。\(2^{2}+1=5\)通り。
✤下１つが開いているとき
図のように下の右側が開いていれば，右端に電気が流れなければ電球はつきません。下図のように３パターンが考えられます。\(2^{3}+2^{1}+1=11\)通り。
したがって，電球がつかないのは\(32+5+11 \times 2=59\)通りなので，\(\boxed{\phantom{hoge}}=128-59=69\)通りになります。
