４枚のカード\( \fbox{０}，\fbox{２}，\fbox{２}，\fbox{４} \)があるとき，この４枚のカードを並べてできる４桁の数のうち11で割り切れるものは全部で\( \fbox{①} \)個あります。
また，５枚のカード\( \fbox{０}，\fbox{２}，\fbox{２}，\fbox{４}，\fbox{６} \)があるとき，このうちの４枚のカードを並べてできる４桁の数のうち11で割り切れるものは全部で\( \fbox{②} \)個あります。ただし，\( \fbox{６} \)のカードを上下逆にして\( \fbox{９} \)として用いることはできません。
11の倍数判定法を知っていると簡単に求まります。ここでは、11の倍数判定法を知らなかった場合として桁バラシで解いています。
［前半の問題］２ＡＢＣと４ＡＢＣの場合に分けて調べてみます。
\( 2000=11 \times 181 + 9 \)，\( \rm{A} \times 100=\rm{A} \times 9 \times 11 + \rm{A} \)なので \[ 9 + \rm{A} + \rm{B} \times 10 + \rm{C} = 11の倍数 \] ０，２，４を当てはめると\((\rm{A,B,C})=(0,2,4),(4,2,0) \)が見つかります。
また，\( 4000=11 \times 363 + 7 \)，\( \rm{A} \times 100=\rm{A} \times 9 \times 11 + \rm{A} \)なので \[ 7 + \rm{A} + \rm{B} \times 10 + \rm{C} = 11の倍数 \] ０，２，２を当てはめると\( (\rm{A,B,C})=(2,0,2) \)が見つかります。以上，３個と求まります。
［後半の問題］２ＡＢＣ，４ＡＢＣ，６ＡＢＣの場合に分けて調べてみます。
\( 2000=11 \times 181 + 9 \)，\( \rm{A} \times 100=\rm{A} \times 9 \times 11 + \rm{A} \)なので \[ 9 + \rm{A} + \rm{B} \times 10 + \rm{C} = 11の倍数 \] ０，２，４，６を当てはめると\((\rm{A,B,C})=(0,2,4),(4,2,0),(0,4,6),(6,4,0) \)が見つかります。
また，\( 4000=11 \times 363 + 7 \)，\( \rm{A} \times 100=\rm{A} \times 9 \times 11 + \rm{A} \)なので \[ 7 + \rm{A} + \rm{B} \times 10 + \rm{C} = 11の倍数 \] ０，２，２，６を当てはめると\( (\rm{A,B,C})=(0,2,6),(2,0,2),(6,2,0) \)が見つかります。 さらに，\( 6000=11 \times 545 + 5 \)，\( \rm{A} \times 100=\rm{A} \times 9 \times 11 + \rm{A} \)なので \[ 5 + \rm{A} + \rm{B} \times 10 + \rm{C} = 11の倍数 \] ０，２，２，４を当てはめると\( (\rm{A,B,C})=(2,0,4),(4,0,2) \)が見つかります。以上，９個と求まります。
